LCノッチ・フィルターの周波数特性
以下にWikipediaから引用した直列RLC回路の図を示します。
入力電圧Vを時間の関数$ v_i(t) $とすると、以下の関係式が成り立ちます。 $$ R i(t) + L\frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t i(\tau) d\tau = v_i(t) $$ この式をラプラス変換すると、以下の関係式が求まります。 $$ V_i(s) = I(s)\left( R + Ls + \frac{1}{Cs}\right) $$
伝達関数
LTSpiceを使って以下のノッチ・フィルターの回路を作成しました。
これから、伝達関数$H(s)$は以下の様に求まります。 $$ H(s) = \frac{V_O(s)}{V_i(s)} = \frac{Ls + \frac{1}{Cs}}{ R + Ls + \frac{1}{Cs}} $$
# 伝達関数から周波数特性を求める
(s, f,R,C,L) = var('s f R C L')
H = (L*s + 1/(C*s))/(R + L*s +1/(C*s))
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show(H)
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# s = jω, ω= 2πfを代入すると
H(f) = H.subs_expr(s == 2*i*pi*f)
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# 電気ではデジベルで表示するため、toDb関数を定義する
def toDb(v):
return 20*log(abs(v), 10)
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# 直接表示すると'unable to simplify to float approximation'のエラーがでるので、lambda式で回避した。
plot(lambda f: toDb(H(f, R=470, C=0.022*10^-6, L=4.7*10^-3)).n(), [f, 5*10^3, 100*10^3], scale="semilogx", figsize=(5, 3), plot_points=500)
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# 位相は以下の様になる
Phi(f) = arctan(imaginary(H(f))/real(H(f)))
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def toDeg(v):
return v*180/pi
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# プロットに少し時間がかかります。
plot(lambda f: toDeg(Phi(f, R=470, C=0.022*10^-6, L=4.7*10^-3)).n(), [f, 5*10^3, 100*10^3], scale="semilogx", figsize=(5, 3), plot_points=300)
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